Question

如圖，P為正方形ABCD的對稱中心，正方形ABCD的邊長為

10

，tan∠ABO=3．直線OP交AB于N，DC于M，點H從原點O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運動，同時，點R從O出發(fā)沿OM方向以

2

個單位每秒速度運動，運動時間為t．
求：（1）分別寫出A、C、D、P的坐標；
（2）當t為何值時，△ANO與△DMR相似？
（3）△HCR面積S與t的函數關系式；并求以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形時t的值及S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據三角函數即可求得OA，OB的長，即可得到A則坐標，C的坐標，進而求得D，P的坐標；
（2）分∠MDR=45°和∠DRM=45°兩種情況求得t的值；
（3）分0＜t≤4和t＞4兩種情況求得函數解析式，然后分當CR∥AB時，當AR∥BC時，當BR∥AC三種情況求得t的值，進而求得函數的最大值．

解答：解：（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）
（2）過點N作NE⊥AO，于點E，過點A作AF⊥MS于點F，MS⊥x軸于點S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直線AB的解析式為：y=-3x+3①；
直線OP的解析式為：y=x②，
①②聯立得

x= 3 4 y= 3 4

，
∴N（

3

4

，

3

4

），
直線CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程組：

y=-3x+13 y=x

，解得：

x= 13 4 y= 13 4

．
則M的坐標是：（

13

4

，

13

4

），
∴ON=

3

4

2

，OM=

13

4

2

，
∵AD²+DM²=AF²+MF²，
10+MD²=（

13

4

）²+（

1

4

）²，
∴DM=

10

4

，
AN=

AE2+EN2

=

3 10

4

．
當∠MDR=45°時，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO與△DMR相似，則△ANO∽△RMD，
∴

MR

DM

=

AN

NO

，即

MR

10 4

=

3 10 4

3 2 4

，
解得：MR=

5 2

4

，
則OR=OM-MR=2

2

．
∴t=2，
同理可得：當∠DRM=45°時，t=3，△ANO與△DMR相似，
綜上可知：t=2或3時當△ANO與△DMR相似；
（3）①∵R速度為

2

，H速度為1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始終垂直于x軸，
∴RH=OH=t，
設△HCR的邊RH的高為h，
∴h=|4-t|．
∴S_△HCR=h•t•

1

2

2=|-t²+4t|•

1

2

，
∴S=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4）；S=

1

2

t²-2t（t＞4）；
②以A、B、C、R為頂點的梯形，有兩種可能：
1．頂邊和底邊分別為BC、AR，此時BC∥AR．
延長AD，使其與OM相交于點R，
∴AD的斜率=tan∠BAO=

1

3

，
∴直線AD為：y=

x

3

+3．
∴R坐標為（4.5，4.5），
∴此時四邊形ABCR為梯形為梯形，
∴t=4.5
2．頂邊、底邊分別為CR、AB，此時CR∥AB，且R與M重合．
∴CD的斜率=-3，且直線CD過點C，
∴直線CD為：y-1=-3•（x-4），
∴y=-3x+13，
∵OM與CD交于點M（即R），
∴M為（

13

4

，

13

4

），
∴此時四邊形ABCR為梯形，
∴t=

13

4

，
∴當CR∥AB時，t=

13

4

，S=

39

32

，
當AR∥BC時，t=

9

2

，S=

9

8

，
當BR∥AC時，t=

1

3

，S=

11

18

．
（3）①分兩種情況：
一、0＜t≤4，H在E點左側；
易知RH=t，HE=4-t，故S=

1

2

RH•HE=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t；
二、t＞4，H在E點右側；
易知RH=t，HE=t-4，故S=

1

2

RH•HE=

1

2

t（t-4）=

1

2

t²-2t；
②若以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形，分三種情況：
一、CR∥AB；此時R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直線CD：y=-3x+13；
當x=y時，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即M（即R）點橫坐標為

13

4

，H（

13

4

，0）；
故t=

13

4

，代入S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）可得S=

39

32

；
同理可求得：
二、AR∥BC時，t=

9

2

，S=

9

8

；
三、BR∥AC時，t=

1

3

，S=

11

18

；
綜合①②可得：
S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）；（1分）
S=

1

2

t²-2t（t＞4）．（1分）
當CR∥AB時，t=

13

4

，（1分）
S_最大=

39

32

；（1分）
當AR∥BC時，t=

9

2

，S_最大=

9

8

；（1分）
當BR∥AC時，t=

1

3

，S_最大=

11

18

．（1分）

點評：本題主要考查了正方形的性質，以及二次函數的性質，正確求得函數的解析式是解題的關鍵．