Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可；
（2）通過作輔助線，根據已知條件求出∠CBD的度數，在Rt△BCD中求解即可．

解答：解：（1）直線BD與⊙O相切．（1分）
證明：如圖，連接OD．
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直線BD與⊙O相切．（2分）

（2）解法一：如圖，連接DE．
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=8：5
∴cosA=

AD

AE

=

4

5

（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cos∠CBD=

BC

BD

=

4

5

（4分）
∵BC=2，
∴BD=

5

2

（5分）
解法二：如圖，過點O作OH⊥AD于點H．
∴AH=DH=

1

2

AD
∵AD：AO=8：5
∴cosA=

AH

AO

=

4

5

（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=

BC

BD

=

4

5

（4分）
∵BC=2
∴BD=

5

2

（5分）

點評：本題考查圓的切線的判定、圓的有關性質如垂徑定理、直徑所對的圓周角是直角等，應對其熟練掌握．