Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝ 120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為 ．

Answer 1

【答案】120°
【解析】作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A′′，交BC于M，交CD于N，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出A′A′′即為△AMN周長(zhǎng)的最小值.
∵∠BAD＝ 120°，
∴∠AA′A′′+∠AA′′A′=180°-120°=60°，
又∵A、A′關(guān)于BC對(duì)稱，A、A′′關(guān)于CD對(duì)稱，
∴∠MAA′=∠MA′A，∠NAA′′=∠NA′′A，
又∵∠AMN=∠MAA′+∠MA′A，∠ANM=∠NAA′′+∠NA′′A，
∴∠AMN＋∠ANM=∠MAA′+∠MA′A+∠NAA′′+∠NA′′A，
=2（∠MA′A+∠NA′′A），
=2×60°，
=120°.
所以答案是：120°.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角形的外角和線段垂直平分線的性質(zhì)，需要了解三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等才能得出正確答案．