Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D．
（1）求證：BD=CD；
（2）若tanC=3，求sinA．

Answer 1

解：（1）證明：連接AD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC
∴BD=DC；
（2）設(shè)AC與⊙O交于點(diǎn)E，連接BE．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵tanC=3
∴tanC==3
設(shè)CD=m，則BE=3m，設(shè)AE=n
∴AB=AC=m+n
在Rt△ABE中，由AE²+BE²=AB²得n²+9m²=（m+n）²，n=4m，AB=5m．
∴sinA=．
分析：（1）連接AD，則AD是⊥BC，根據(jù)等腰三角形中三線合一定理即可證得；
（2）設(shè)AC與⊙O交于點(diǎn)E，連接BE，則△BEC是直角三角形，△ACD也是直角三角形，設(shè)CD=m，設(shè)AE=n，根據(jù)勾股定理即可得到m、n直角的關(guān)系，利用三角函數(shù)定義即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題是圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)定理以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確根據(jù)三角函數(shù)的定義，把三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為線段的比，從而作出輔助線是關(guān)鍵．