Question

在圖1到圖3中，點O是正方形ABCD對角線AC的中點，△MPN為直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不動，△MPN沿射線AC向右平移，平移過程中P點始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點E，PN垂直于直線BC于點F．
（1）如圖1，當點P與點O重合時，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為________；
（2）如圖2，當P在線段OC上時，猜想OE與OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并對你的猜想結(jié)果給予證明；
（3）如圖3，當點P在AC的延長線上時，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為________；位置關(guān)系為________．

Answer 1

（1）解：OE=OF（相等）；（1分）

（2）解：OE=OF，OE⊥OF；（3分）
證明：連接BO，
∵在正方形ABCD中，O為AC中點，
∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，（4分）
∵PF⊥BC，∠BCO=45°，
∴∠FPC=45°，PF=FC．
∵正方形ABCD，∠ABC=90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB=∠PFB=90°．
∴四邊形PEBF是矩形，
∴BE=PF．（5分）
∴BE=FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，（7分）
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∴∠EOF=90°，
∴OE⊥OF．（8分）

（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．（10分）
分析：（1）根據(jù)利用正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可判定四邊形BEOF為正方形，從而得到結(jié)論；
（2）當移動到點P的位置時，可以通過證明四邊形BEPF為矩形來得到兩條線段的數(shù)量關(guān)系；
（3）繼續(xù)變化，有相同的關(guān)系，其證明方法也類似．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住動點問題，化動為靜，還要大膽的猜想．