Question

△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)O點(diǎn)作EO⊥BC，交BA延長(zhǎng)線于E，交AC于D．

求證：AD·DC=OD·DE．

Answer 1

答案：略
解析：

證法一：連接OC，設(shè)EO交⊙O于F點(diǎn)． ∵EO⊥BC，∴F點(diǎn)是的中點(diǎn)． ∴∠COF的度數(shù)等于的度數(shù)． ∵∠BAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，∴∠BAC=∠FOC． ∵∠EAD＋∠BAC=180°，∠FOC＋∠DOC=180°，∴∠EAD=∠DOC． ∵∠ADE=∠ODC，∴△ADE∽△ODC． ∴AD∶OD=ED∶DC．∴AD·DC=OD·ED． 證法二：連接CO且延長(zhǎng)交⊙O于G點(diǎn)，連AG， ∴∠G=∠B． ∵CG是直徑，∴∠CAG=90°． 設(shè)EO⊥BC于H點(diǎn)．∴∠EHB=90°． ∴∠E=∠DCO． ∵∠ADE=∠ODC，∴△ADE∽△ODC． ∴AD∶OD=ED∶DC．∴AD·DC=OD·ED．

提示：

要證結(jié)論成立就需要確定用什么知識(shí)．從結(jié)論的構(gòu)成上看這四條線段涉及到兩個(gè)三角形相似，那么結(jié)論就成立．從圖上看∠ADE=∠ODC，這時(shí)只要再證明一組角相等，則三角形相似．從圖上可觀察到∠E與∠DCO，∠EAD與∠DOC應(yīng)分別相等．∠E與∠DOC及∠DCO的形成都與EO⊥AB有關(guān)，所以要充分利用這個(gè)條件．