Question

【題目】在如圖平面直角坐標系中，矩形的頂點的坐標為，、分別落在軸和軸上，是矩形的對角線. 將繞點逆時針旋轉，使點落在軸上，得到，與相交于點，反比例函數的圖象經過點，交于點.

（1）求的值和點的坐標；

（2）連接，則圖中是否存在與相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并選其中一種進行證明；若不存在，請說明理由；

（3）在線段上存在這樣的點，使得是等腰三角形，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），G；（2），， ，證明見解析；（3） 或或

【解析】

（1）證明△COF∽△AOB，則，求得：點F的坐標為（1，2），即可求解；

（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．證△OAB∽△BFG：，即可求解．

（3）分GF=PF、PF=PG、GF=PG三種情況，分別求解即可．

（1）∵四邊形為矩形，點的坐標為，

∴，

∵是旋轉得到的，即：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點的坐標為，

∵的圖象經過點，

∴，得，

∵點在上，

∴點的橫坐標為4，

對于，當，得，

∴點的坐標為；

（2）；； ；．

下面對進行證明：

∵點的坐標為，

∴，

∵，

∴，

．

∴，．

∴，

∵，

∴．

（3）設點，而點、點，

則，，，

當時，即，解得： （舍去負值）；

當時，同理可得：；

當時，同理可得： （舍去正值）；

綜上，點的坐標為或或．