如圖所示．P是⊙O外一點．PA是⊙O的切線．A是切點．B是⊙O上一點．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）求證： AQ·PQ= OQ·BQ； 

（3）設∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的長

【解析】此題考核圓的切線，相似三角形的判定和性質

 

【答案】

（1）證明：連接OP，與AB交與點C．∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切線，A是切點，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切線；

 

（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，∴△QAO∽△QBP，

∴ ，即AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，∴OA=12，AQ=9，∴QB=27；∵，

∴PQ=45，即PA=36，∴OP=；∵PA、PB是⊙O的切線，∴OP⊥AB，AC=BC，

∴PA•OA=OP•AC，即36×12=•AC，∴AC=，故AB=

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O 上一點，且PA精英家教網=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）設∠AOQ=α，若cosα=
45
，OQ=15，求AB的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖所示，P是⊙O外一點，PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點，C是
AB
上任意一點，過C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E．若△PDE的周長為12，則PA的長為（　�。�
A、12B、6C、8D、4

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，P是⊙O外一點，PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點，C是
AB
上任意一點，過C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E．
（1）若△PDE的周長為10，則PA的長為
5
5
；
（2）連接CA、CB，若∠P=50°，則∠BCA的度數(shù)為
115
115
度．

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科目：初中數(shù)學 來源：2011年初中畢業(yè)升學考試（四川廣安卷）數(shù)學 題型：解答題

如圖所示，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O 上一點，且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）設∠AOQ=α，若cosα= ，OQ=15，求AB的長．
[來源:學科網ZXXK]

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科目：初中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省翠苑中學九年級下學期3月考數(shù)學卷（帶解析） 題型：解答題

如圖所示．P是⊙O外一點．PA是⊙O的切線．A是切點．B是⊙O上一點．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證： AQ?PQ= OQ?BQ； 
（3）設∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的長

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