Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點．
（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標；
（2）如圖1，將拋物線的對稱軸繞拋物線的頂點D順時針旋轉(zhuǎn)60°，與直線y=-x交于點N．在直線DN上是否存在點M，使∠MON=75°．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點P、Q分別是拋物線y=ax²+bx+c和直線y=-x上的點，當四邊形OBPQ是直角梯形時，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法將A，B，C三點代入求出a，b，c即可得出解析式；
（2）首先求出EF的長進而得出F點的坐標，再分兩種情況：①當點M在射線ND上時，∠MON=75°，②當點M在射線NF上時，不存在點M使得∠MON=75°，分別得出M點的坐標即可；
（3）分別根據(jù)①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q點的坐標即可．
解答：（1）解：由題意把A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax²+bx+c列方程組得：
，解得 ．
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+3．  
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點D的坐標為（-1，4）．

（2）存在．
理由：方法（一）：
由旋轉(zhuǎn)得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，
∴EF=DE×tan60°=4．∴OF=OE+EF=1+4．
∴F點的坐標為（，0）．
設過點D、F的直線解析式是y=κx+b，
把D（-1，4），F(xiàn)（，0）
代入求得 ．
分兩種情況：①當點M在射線ND上時，
∵∠MON=75°，∠BON=45°，
∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．∴∠MOC=60°．
∴直線OM的解析式為y=x．
∴點M的坐標為方程組．的解，解方程組得，．
∴點M的坐標為（，）．
②當點M在射線NF上時，不存在點M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，
綜上所述，存在點M，且點M的坐標為（，）．

方法（二）①M在射線ND上，過點M作MP⊥x軸于點P，
由旋轉(zhuǎn)得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4
∴EF=DE×tan60°=4．∴OF=OE﹢EF=1+4．
∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．
∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP=OP．
在Rt△MPF中，∵tan∠MFP=，
∴=．
∴OP=2﹢．∴MP=6﹢．
∴M點坐標為（2﹢、6﹢），
②M在射線NF上，不存在點M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．
綜上所述，存在點M，且點M的坐標為（，）．

（3）有兩種情況①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．
如圖2，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．
所以點P、B的縱坐標相同都是3．
因為點P在拋物線y=-x²-2x+3上，
把y=3代入拋物線的解析式中得x₁=0（舍去），x₂=-2．
由PQ∥OB得到點P、Q的橫坐標相同，
都等于-2．把x=-2代入y=-x得y=2．
所以Q點的坐標為（-2，2）．
②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．
如圖3，∵D（-1，4），B（0，3），∴DB∥OQ．∵PB∥OQ，
點P在拋物線上，∴點P、D重合．
∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．
∴OF=OE+EF=5．
作QH⊥x軸于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，
∴OQ=FQ．∴OH=OF=．
∴Q點的橫坐標-．∵Q點在y=-x上，∴把x=-代入y=-x得y=．∴Q點的坐標為（-，）．
綜上，符合條件的點Q有兩個，坐標分別為：（-2，2），（-，）．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及銳角三角函數(shù)的應用和圖象上點的坐標性質(zhì)等知識，根據(jù)已知進行分類討論得出是解題關鍵．