Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0．
（1）求證：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)這個(gè)一元二次方程的兩根為a、b，且2、a、b分別是一個(gè)直角三角形的三邊長，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵b²-4ac
=（m-3）²+12m
=m²+6m+9
=（m+3）²；
又∵（m+3）²≥0，
∴b²-4ac≥0，
∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）原方程可變?yōu)椋▁+m）（x-3）=0，
則方程的兩根為x₁=-m，x₂=3，
∴直角三角形三邊為2，3，-m；
∴m＜0，
①若-m為直角三角形的斜邊時(shí)，則：
2²+3²=m²，
∴；
②若3為直角三角形的斜邊時(shí)，則：
2²+m²=3²
∴．
分析：（1）利用根的判別式求出關(guān)于m的代數(shù)式，整理成非負(fù)數(shù)的形式即可判定b²-4ac≥0；
（2）把原方程因式分解，求出方程的兩個(gè)根，分別探討不同的數(shù)值為斜邊，利用勾股定理解決問題．
點(diǎn)評：此題考查利用根的判別式b²-4ac探討根的情況，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)；注意分類討論思想的滲透．