Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，直線MN經(jīng)過點O，設(shè)銳角∠DOC=∠，將△DOC以直線MN為對稱軸翻折得到△D’OC’，直線A D’、B C’相交于點P．

（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想A D’、B C’的數(shù)量關(guān)系以及∠APB與∠α的大小關(guān)系；

（2）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，（1）中的結(jié)論還成立嗎？

（3）當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，∠APB與∠α有怎樣的等量關(guān)系？請證明．

Answer 1

解：（1） A D’=B C’，∠APB=∠α．                      

（2） A D’=B C’ 仍然成立，∠APB=∠α不一定成立．  

（3）∠APB=180°-∠α．                           

證明：如圖3，設(shè)OC’，PD’交于點E．

∵ 將△DOC以直線MN為對稱軸翻折得到△D’OC’，

  ∴ △DOC≌△D’OC’，

∴ OD=OD’， OC=OC’，∠DOC=∠D’OC’．

∵ 四邊形ABCD是等腰梯形，

∴ AC=BD，AB=CD, ∠ABC= ∠DCB．

∵ BC=CB，

∴ △ABC≌△DCB．

∴ ∠DBC=∠ACB．

∴ OB=OC，OA=OD．

∵ ∠AOB= ∠COD=∠C’O D’，

∴ ∠BOC’ = ∠D’O A．

∵ OD’=OA，OC’=OB，

∴ △D’OC’≌△AOB，

∴ ∠OD’C’= ∠OAB ．

∵ OD’=OA，OC’=OB，∠BOC’ = ∠D’O A，

∴ ∠OD’A = ∠OAD’=∠OBC’=∠OC’ B．

∵ ∠C’EP= ∠D’EO，

∴ ∠C’PE= ∠C’OD’=∠COD=∠α．

∵∠C’PE+∠APB=180°，

∴∠APB=180°-∠α．              …………………… 8分