Question

點P是正方形ABCD邊AB上一點（不與A、B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，連接BE，則∠CBE等于（ ）

A．75°
B．60°
C．45°
D．30°

Answer 1

【答案】分析：過E作AB的延長線AF的垂線，垂足為F，可得出∠F為直角，又四邊形ABCD為正方形，可得出∠A為直角，進而得到一對角相等，由旋轉(zhuǎn)可得∠DPE為直角，根據(jù)平角的定義得到一對角互余，在直角三角形ADP中，根據(jù)兩銳角互余得到一對角互余，根據(jù)等角的余角相等可得出一對角相等，再由PD=PE，利用AAS可得出三角形ADP與三角形PEF全等，根據(jù)確定三角形的對應邊相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的邊長相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代換可得出EF=BF，即三角形BEF為等腰直角三角形，可得出∠EBF為45°，再由∠CBF為直角，即可求出∠CBE的度數(shù)．
解答：解：過點E作EF⊥AF，交AB的延長線于點F，則∠F=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋轉(zhuǎn)可得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF，
∴BF=EF，又∠F=90°，
∴△BEF為等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，
則∠CBE=45°．
故選C．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，其中作出相應的輔助線是解本題的關(guān)鍵．