Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=16cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別沿AB，BC方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為3cm/s，4cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P在AC上移動(dòng)，若△PEF為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有

 

個(gè)；
（2）△BEF的面積為S（cm²），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將△BEF沿EF翻折得到△GEF，四邊形EBFG能否為正方形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，說(shuō)明理由；
（4）在（3）的條件下，是否存在時(shí)刻t，使得GF∥AC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，EF是△BAC的中位線，由圖形可知，若△PEF為直角三角形，則有∠PEF=90°一種，∠EPF=90°兩種，∠PFE=90°一種，共4種；
（2）根據(jù)直角三角形的面積公式即可得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)正方形的判定，得出△BEF為等腰直角三角形時(shí)的t值即可；
（4）延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)M，可得△ABC∽△MBF∽△MGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．

解答：解：（1）4；（2分）

（2）由題意可知：AE=3t，BF=4t，
∴BE=12-3t．
∴S=

1

2

×4t×(12-3t)=-6t2+24t．（5分）

（3）四邊形EBFG能為正方形．
要使得四邊形EBFG為正方形，只需△BEF為等腰直角三角形，
當(dāng)BE=BF時(shí)，即12-3t=4t，t=

12

7

時(shí)，四邊形EBFG為正方形．（7分）

（4）在（3）的條件下，存在t=

36

13

時(shí)，GF∥AC．（8分）
理由如下：延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)M，則△ABC∽△MBF∽△MGE，
∴

BF

BC

=

MF

AC

，

MG

AB

=

EG

CB

．
∴MF=5t．
∵EG=EB=12-3t，F(xiàn)G=FB=4t，
∴MG=t．
∴t=

36

13

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式，翻折變換（折疊問(wèn)題），正方形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．