Question

已知如圖，△ABC中AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經過B、M兩點的⊙O交BC于G，交AB于點F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）當BC=6，cosC=

1

4

，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接OM．根據(jù)OB=OM，得∠1=∠3，結合BM平分∠ABC交AE于點M，得∠1=∠2，則OM∥BE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，得AE⊥BC，則OM⊥AE，從而證明結論；
（2）設圓的半徑是r．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，得BE=CE=3，再根據(jù)解直角三角形的知識求得AB=12，則OA=12-r，從而根據(jù)平行線分線段成比例定理求解．

解答：（1）證明：連接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于點M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分線，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE與⊙O相切；

（2）解：設圓的半徑是r．
∵AB=AC，AE是角平分線，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=

1

4

，
∴AB=BE÷cosB=12，則OA=12-r．
∵OM∥BE，
∴

OM

BE

=

OA

AB

，
即

r

3

=

12-r

12

，
解得r=2.4．
則圓的直徑是4.8．

點評：此題綜合運用了等腰三角形的性質、平行線的判定及性質、切線的判定、平行線分線段成比例定理以及解直角三角形的知識．連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線之一．