Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊重合于OA，直角邊不重合，已知A（6，0），AB=OC，AC與OB交于點(diǎn)D，連接BC．
（1）填空，如圖1，D點(diǎn)坐標(biāo)是______．
（2）若將△OCA饒OA的中點(diǎn)P逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°到△O₁C₁A₁的位置，則C₁的坐標(biāo)為______．
（3）在（2）的條件下，求△OAB與△O₁C₁A₁的重疊部分的面積．

Answer 1

解：（1）過D作DP⊥OA于P，則P是OA的中點(diǎn)；
∴OP=PA=3，即P（3，0）；
在Rt△OPD中，OP=3，∠DOP=30°，則：
PD=OP÷=，即D（3，）．

（2）連接CP，C₁P；
由于P是Rt△ACO的中點(diǎn)，且∠COP是60°，
那么△CPO是等邊三角形，即CP=OP=3，∠CPO=60°；
∴∠C₁PO=30°，而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：PC₁=CP=3，
可求得C₁（3-，-）．

（3）由（1）（2）得：A（6，0），P（3，0），A₁（3，3），B（，），C₁（3-，-）；
那么可得：直線BO：y=x，則N（3，）；
直線A₁C₁：y=x+3-3，可求Q（3-，0），M（，）；
即可求S_陰影=×3×-×（3-）×=．
分析：（1）過D作DP⊥x軸于P，易知點(diǎn)P是OA的中點(diǎn)，則OE=3，根據(jù)∠DOE的度數(shù)，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）連接CP、C₁P，在Rt△ACO中，CP是斜邊OA上的中線，已知CP=OP=3，且∠CPO=60°；若旋轉(zhuǎn)角為60°，那么∠C₁PO=30°，結(jié)合CP即C₁P的值即可求出點(diǎn)C1的坐標(biāo)．
（3）首先求出A₁、P、的坐標(biāo)，然后分別求出直線OB、直線A₁C₁的解析式，即可得M、N、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，那么陰影部分的面積可由△OPN、△OMQ的面積差求得．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)以及圖形面積的求法，難度適中．