Question

（2012•岳陽）如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，且AD=

2

3

AB，DF∥BC，E為BD的中點．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為

15

．

Answer 1

分析：過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，根據(jù)題意設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x，由DG∥EF，利用平行線分線段成比例求FG，由DF∥BC得△ADF∽△ABC，利用相似比求DF，同時可得∠DFG=∠C，易證Rt△DFG∽Rt△ACH，利用相似比求x，在Rt△ABH中，用勾股定理求AH，計算△ABC的面積，由△ADF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)求△ADF的面積，作差求四邊形DBCF的面積．

解答：解：如圖，過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，
∵E為BD的中點，且AD=

2

3

AB，
∴可設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x，
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF，

AE

AF

=

DE

FG

，即

5x

4x

=

x

FG

，解得FG=

4

5

x，
∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，

DF

BC

=

AD

AB

，即

DF

6

=

4x

6x

，
解得DF=4，
又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH，

DF

AC

=

FG

CH

，即

4

6x

=

4 5 x

3

，
解得x²=

5

2

，
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=

AB2-BH2

=

36x2-32

=9，
則S_△ABC=

1

2

×BC×AH=

1

2

×6×9=27，
又∵△ADF∽△ABC，∴

S△ADF

S△ABC

=（

DF

BC

）²=

4

9

，
S_△ADF=

4

9

×27=12，
∴S_{四邊形DBCF}=S_△ABC-S_△ADF=27-12=15，
故答案為：15．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似比解題．