Question

在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（-8，3），B（-4，5）以及動(dòng)點(diǎn)C（0，n），D（m，0），則當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時(shí)，比值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的值，再過點(diǎn)B作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)A作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B′分別交x、y軸于點(diǎn)D、C，由兩點(diǎn)之間線段最短可知線段A′B′即為四邊形ABCD的周長最小值，用待定系數(shù)法求出過A′B′兩點(diǎn)的直線解析式，即可求出C、D的坐標(biāo)．
解答：解：∵AB==2，
∴四邊形ABCD周長=AB+BC+CD+AD=2+BC+CD+AD，
∴求其周長最小值，就是求BC+CD+AD的最小值．過B作y軸對(duì)稱點(diǎn)B′（4，5），
則BC=B′C，
過A作x軸對(duì)稱點(diǎn)A′（-8，-3），則AD=A′D

∴BC+CD+AD=B′C+CD+A′D≥A′B′
即A′、D、C、B′四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)
可求出相應(yīng)的C、D坐標(biāo)，
設(shè)直線A′B′的方程是y=kx+b（k≠0），
∴，解得k=，b=，故過A′B′兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=x+，
∴C（0，）D（-，0），
即n=，m=-，
=-．
故答案為：-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是兩點(diǎn)之間線段最短及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)作出A、B的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′及求出其坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．