Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E. ⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD＝3，cos∠BCD＝.
（1）求證：CD∥BF；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求弦CD的長.

Answer 1

（1）∵BF切⊙O于點B， ∴BF⊥OB………………………(1分)
又∵AB⊥CD于E， ∴∠AED＝∠ABF＝90º…………(2分)
∴CD∥BF…………………………………………………(3分)
（2）作OH⊥AD于H，則AH＝AD＝…………………………………(4分)
在Rt△AOH中，AH＝，cosA＝cos∠BCD＝
∴AO＝×＝2，即半徑為2………………………………………(6分)
（3）在Rt△ADE中，AD＝3，cosA＝ ∴AE＝3×＝………………(7分)
在Rt△ODE中，OD＝2，OE＝－2＝ ∴DE＝…………(8分)
∴CD＝2DE＝………………(9分)解析:
1）由BF是⊙O的切線得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可證明CD∥BF；
（2）連接BD，由AB是直徑得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=，所以cos∠BAD==，然后利用三角函數(shù)即可求出⊙O的半徑；
（3）由于cos∠DAE= =，而AD=3，由此求出AE，接著利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．