Question

請(qǐng)閱讀如下材料．如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線ACBD于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，AG⊥BE，垂足為G．求證：OE=OF．

（1）根據(jù)你的理解，上述證明思路的核心是利用______使問(wèn)題得以解決，而證明過(guò)程中的關(guān)鍵是證出______．
（2）若上述命題改為：點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥BE交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AG交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，其他條件不變．求證：OF=OE．

Answer 1

證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，且OA=OB．
又∵AG⊥BE，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3，
即∠1=∠2，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF（AAS），
∴OE=OF．
（1）三角形全等，∠1=∠2

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOF=∠BOE=90°，且OA=OB，
又∵∠F+∠FAO=90°，∠E+∠FAO=90°，
即∠E=∠F
∴Rt△AOF≌Rt△BOE，
∴OE=OF．