Question

如圖，直線AB過x軸上的點(diǎn)B（4，0），且與拋物線y=ax²交于A、C兩點(diǎn)，已知A（2，2）．
（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）如果拋物線上有點(diǎn)D，使S_△OBD=S_△OAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知直線AB經(jīng)過A（2，0），B（1，1），設(shè)直線表達(dá)式為y=ax+b，可求直線解析式；
（2）將A（2，2）代入拋物線y=ax²可求拋物線解析式；
（3）已知A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)作差法可求△OAC的面積，在△DOB中，已知面積和底OB，可求OB上的高，即D點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求橫坐標(biāo)，得出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線表達(dá)式為y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的圖象上，
∴

2=2a+b 0=4a+b

，
∴

a=-1 b=4

，
∴直線AB的函數(shù)解析式為：y=-x+4，

（2）∵點(diǎn)A（2，2）在y=ax²的圖象上，
∴a=

1

2

，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=

1

2

x²．

（3）∵

y=-x+4 y= 1 2 x 2

，
解得：

x=2 y=2

或

x=-4 y=8

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，8），
設(shè)D（x，

1

2

x²），
∴S_△OBD=|OB|•|y_D|=

1

2

×4×

1

2

•x²=x²．
∴S_△AOC=S_△BOC-S_△OAB=

1

2

×4×8-

1

2

×4×2=16-4=12，
∵S_△OBD=S_△OAC，
∴x²=12，
∴x=±2

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，6）或（-2

3

，6）．

點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法，要求會用點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角形的面積，從而求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，題目的綜合性不小，難度不大．