Question

如圖，△ABC中，D、E、F分別為CB、AC、AB的中點(diǎn)，AD、BE、CF相交于O點(diǎn)，AB=6，BC=10，AC=8，試求出線段DE、OA、OF的長度與∠EDF大小．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)勾股定理的逆定理推知△EFD、△ABC是直角三角形，由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AD=BC=5，然后根據(jù)三角形重心的性質(zhì)求得OA的長度．
解答：解：∵在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，
∴BC²=AB²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB=90°．
∵點(diǎn)O是△ABC的重心，AD=BC=5，
∴OA=AD=．
在直角△AFC中，CF===，
∴OF=FC=．
∵△ABC中，D、E、F分別為CB、AC、AB的中點(diǎn)，
∴DE、EF、FD是△ABC的三條中位線．
∴DE=AB=3，EF=BC=5，F(xiàn)D=AC=4，
∴EF²=DE²+FD²，
∴△EFD是直角三角形，且∠EDF=90°．
綜上所述，DE=3，OA=，OF=，∠EDF=90°．
點(diǎn)評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理的逆定理以及三角形的重心．三角形的中位線等于第三邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；三角形的重心把三角形的中線分為1：2兩部分．