Question

18．如圖1，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD，AB分別在x軸，y軸上，且AD=2，AB=3，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E（4，0）．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式，并求當(dāng)x取何值時(shí)，該拋物線(xiàn)有最大值，這個(gè)最大值是多少？
（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從A點(diǎn)出發(fā)向沿射線(xiàn)AB勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），直線(xiàn)AB與該拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為N（如圖2所示）．
①若拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)矩形BC邊的中點(diǎn)，求t的值；
②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）（用含t的式子表示），并求此時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）由O、E的坐標(biāo)可求得b、c的值，可求得拋物線(xiàn)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；
（2）①由題意可設(shè)BC的中點(diǎn)為F，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（t-1，3），代入拋物線(xiàn)解析式可求得t的值；②由平行四邊形的性質(zhì)可知PN=CD=3，用t可分別表示出P、N的坐標(biāo)，再由PN的長(zhǎng)度可求得t的值．

解答 解：
（1）∵拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E（4，0），
∴c=0，b=4，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，拋物線(xiàn)有最大值，最大值為4；
（2）①設(shè)BC的中點(diǎn)為F，則F（t-1，3），
當(dāng)拋物線(xiàn)過(guò)F點(diǎn)時(shí)，則有3=-（t-1）²+4（t-1），解得t=2或t=4，
即當(dāng)t的值為2或4時(shí)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)矩形BC邊的中點(diǎn)；
②∵矩形ABCD，PN∥CD，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PN=CD=3時(shí)，四邊形PNCD為平行四邊形，
∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)軸上，且N在拋物線(xiàn)上，
∴OA=AP=t，
∴P（t，t），N（t，-t²+4t），
當(dāng)0≤t≤3時(shí)，PN=-t²+4t-t=-t²+3t，由-t²+3t=3可知該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)t＞3時(shí)，PN=t-（-t²+4t）=t²-3t，由t²-3t=3解得t=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$＜0（不合題意，舍去），
故答案為：（t，t）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及方程思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中，用t表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）②中由平行四邊形的性質(zhì)得到PN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．