Question

如圖．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，將矩形ABCD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形A′B′C′D，再將矩形A′B′C′D繞C′順時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形A″B″C′D′．
（1）求兩次旋轉(zhuǎn)點A經(jīng)歷的軌跡的總長度；
（2）求陰影部分①的面積；
（3）求陰影部分②的面積（在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么它所對的角等于30度．）．

Answer 1

（1）連接AC，在Rt△ABC中，
∵AB=1，BC=2，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

5

，
由旋轉(zhuǎn)可知A′C′=A″C″=

5

，A′D=AD=BC=2，
又A′B′=C′D′，∠A′B′C′=∠A″D′C′=90°，B′C′=D′A″，
∴△AB′C′≌△C′D′A″（SAS），
∴∠AC′B′=∠C′A″D′，又∠C′A″D′+∠D′C′A″=90°，
∴∠C′A″D′+∠AC′B=90°，即∠A′C′A″=90°，
則兩次旋轉(zhuǎn)點A經(jīng)歷的軌跡的總長度為

AA′

+

A′A″

=

90π×2

180

+

90π× 5

180

=π+

5

2

π；

（2）∵△AB′C′≌△C′D′A″，且兩三角形面積都為矩形面積的一半，
∴陰影部分①的面積S=S_{扇形A′C′A″}-2S_△AB′C′
=S_{扇形A′C′A″}-S_矩形=

90π×( 5 )2

360

-1×2=

5

4

π-2；

（3）∵ED=A′D=AD=BC=2，CD=AB=1，且∠ECD=90°，
∴∠CED=30°，又BC∥AD，
∴∠ADE=30°，
又在Rt△ECD中，ED=2，CD=1，
根據(jù)勾股定理得：EC=

ED2-CD2

=

3

，
則陰影部分②的面積S=S_扇形ADE+S_△ECD=

30π×22

360

+

1

2

×

3

×1=

1

3

π+

3

2

．