Question

在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位長的速度向C點(diǎn)移動，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒2個單位長的速度向點(diǎn)B移動，點(diǎn)P、Q分別從起點(diǎn)同時出發(fā)，移動到某一位置所用的時間為t秒
（1）當(dāng)時間t=3時，求線段PQ的長；
（2）當(dāng)移動時間t等于何值時，△PCQ的面積為8cm²？
（3）點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)CD，移動P、Q能否使PQ、CD互相平分？若能，求出點(diǎn)P、Q移動時間t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件就有AP=t，CQ=2t，在Rt△PCQ中，由勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）由條件有PC=6-t，CQ=2t，由三角形的面積公式建立方程求出其解即可；
（3）假設(shè)PQ、CD互相平分，就可以得出四邊形PCQD是平行四邊形，就有PD∥CQ，由點(diǎn)D為中點(diǎn)就可以得出P為AC的中點(diǎn)，就有PA=3，PD=4，就可以得出CQ=4，由運(yùn)動時間可以得出3≠2，故得出結(jié)論P(yáng)Q、CD不互相平分．

解答：解：（1）∵AP=t，CQ=2t，
∴t=3時，AP=3，CQ=6，
∴PC=6-3=3
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得
PQ=

9+36

=3

5

．
答：PQ=3

5

；

（2）∵AP=t，CQ=2t，
∴PC=6-t．
∴

1

2

（6-t）×2t=8，
解得：t₁=2，t₂=4．

（3）PQ、CD不互相平分．
當(dāng)PQ、CD互相平分，
∴四邊形PCQD是平行四邊形，
∴PD∥CQ．PD=CQ．
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴P是AC的中點(diǎn)，
∴AP=

1

2

AC=3，PD=CQ=

1

2

BC=4．
∴t=

3

1

≠

4

2

．
∴PQ、CD不互相平分．

點(diǎn)評：本題是一道幾何動點(diǎn)問題，考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．