Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c經過點A（，0）和點B（1，），與x軸的另一個交點為C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點D在對稱軸的右側，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對稱軸于點E，連接AE．
①判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由；
②點F是OB的中點，點M是直線BD的一個動點，且點M與點B不重合，當∠BMF=∠MFO時，請直接寫出線段BM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的函數表達式；
（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點B與點D縱坐標相同，解一元二次方程求出點D的坐標；
（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形；
②點M在點B的左右兩側均有可能，需要分類討論．綜合利用相似三角形的性質、等腰三角形的性質和勾股定理，求出線段BM的長度．
解答：解：（1）將A（，0）、B（1，）代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c，得：
，
解得：．
∴y=x²x+．

（2）當∠BDA=∠DAC時，BD∥x軸．
∵B（1，），
當y=時，=x²x+，
解得：x=1或x=4，
∴D（4，）．

（3）①四邊形OAEB是平行四邊形．
理由如下：拋物線的對稱軸是x=，
∴BE=-1=．
∵A（，0），
∴OA=BE=．
又∵BE∥OA，
∴四邊形OAEB是平行四邊形．
②∵O（0，0），B（1，），F為OB的中點，∴F（，）．
過點F作FN⊥直線BD于點N，則FN=-=，BN=1-=．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．
∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）當點M位于點B右側時．
在直線BD上點B左側取一點G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG-BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴，即，
∴BM=；
（II）當點M位于點B左側時．
設BD與y軸交于點K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，
∴KF=OB=FB=，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=，
∴BM=MK+BK=+1=．
綜上所述，線段BM的長為或．
點評：本題是中考壓軸題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四邊形、勾股定理等知識點．難點在于第（3）②問，滿足條件的點M可能有兩種情形，需要分類討論，分別計算，避免漏解．