Question

如圖：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若∠AOB=45°，OP=，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．
解答：解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．
∵PC關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
則CD=OC=×3=6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確作出圖形，理解△PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵．