Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在射線OM上，OP=m（m為常數(shù)且m≠0），移動(dòng)直角三角板，兩邊分別交射線OA，OB與點(diǎn)C，D
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)C、D都不與點(diǎn)O重合時(shí)，求證：PC=PD；
（2）聯(lián)結(jié)CD，交OM于E，設(shè)CD=x，PE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖，若三角板的一條直角邊與射線OB交于點(diǎn)D，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點(diǎn)C，F(xiàn)，且△PDF與△OCD相似，求OD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PG，根據(jù)ASA可證△PCM≌△PDN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得PC=PD；
（2）根據(jù)AA可證△PDE∽△POD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分①點(diǎn)C在AO上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可求得OD的長(zhǎng)；②點(diǎn)C在AO的延長(zhǎng)線上，△PDF與△OCD相似只能是∠1=∠2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BDC=45°，然后求出∠1=22.5°，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OM交OD于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OG，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠3=22.5°，從而得到∠1=∠3，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得PG=DG=m，然后根據(jù)OD=OG+DG計(jì)算即可得解．
解答：（1）證明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，
則∠PHC=∠PND=90°，
則∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分線
∴PH=PN，∠POB=45°，
∵在△PCH與△PDN中，
，
∴△PCH≌△PDN（ASA）
∴PC=PD；

（2）解：∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△PDE∽△POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD²=CD²，
∴PE=x²，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=x²；

（3）①如圖1，點(diǎn)C在AO上時(shí)，∵∠PDF＞∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠DFP=∠CDO，
∴CF=CD，
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=DF=OP=m；
②如圖2，點(diǎn)C在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，
△PDF與△OCD相似，若∠2=∠PFD，則PC∥CD，與PC、DC相交于點(diǎn)C矛盾，
所以，只能是∠1=∠2，
由（1）可知PC=PD，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠1=22.5°，
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OM交OD于G，
∵∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，
∴△POG是等腰直角三角形，
∴OG=OP=m，
PG=OP=m，
∵∠1+∠3=∠PGO=45°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=∠3，
∴PG=DG=m，
∴OD=OG+DG=m+m=（+1）m，
綜上所述，OD的長(zhǎng)為：m或（+1）m．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形相似或全等得出線段之間以及角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，（3）要分情況討論，容易漏解而導(dǎo)致出錯(cuò)．