Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為10cm，AC是對角線，AG平分∠BAC，GH⊥AC于H．
（1）求證：BG=CH；
（2）求BG的長度．[計算中可能要用到(

2

+1)(

2

-1)=1]．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線性質定理可證明BG=GH，再證明三角形HGC是等腰直角三角形即可得到CH=HG，即BG=CH；
（2）由（1）可知BG=GC=HC，所以在Rt△GHC中，GC²=GH²+HC²，即

2

BG+BG=10cm，進而求出BG的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴GB⊥AB，
∵AG平分∠BAC，GB⊥AB，GH⊥AC，
∴BG=GH，
又∵在Rt△GHC內，∠HCG=45°，
∴GH=CH，
∴BG=CH；

（2）解：∵BG+GC=10cm，且BG=GH=HC
在Rt△GHC中，GC²=GH²+HC²，
∴GC=

2

BG
∴

2

BG+BG=10cm，
即BG=

10

2 +1

=10

2

-10．

點評：本題考查了正方形的性質、角平分線性質定理、等腰直角三角形的判定和性質以及勾股定理的運用，題目的綜合性較強，題目的難度不大，能夠很好的訓練學生的解題能力．