Question

如圖在△ABC和△DEF中，AB=AC=DE=DF=5，BC=EF=6，移動(dòng)△DEF，在整個(gè)移動(dòng)過程中，點(diǎn)E始終在BC邊上（點(diǎn)E不經(jīng)過B、C兩點(diǎn)），且DE經(jīng)過點(diǎn)A，設(shè)EF與AC的交點(diǎn)為M．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）證明：∠CEM=∠BAE；
（3）若重疊部分△AEM為等腰三角形，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)SSS定理可直接證明△ABC≌△DEF；
（2）首先根據(jù)△ABC≌△DEF可得∠B=∠DEF，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得結(jié)論∠CEM=∠BAE．
（3）首先得出AE≠AM，再利用當(dāng)AM=EM時(shí)，以及當(dāng)AM=EM時(shí)分別求出BE的長即可．

解答：證明：（1）
∵在△ABC和△DEF中，

AB=DE AC=DF BC=EF

，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；

（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∵∠B+∠BAE=∠AEC=∠DEF+∠MEC，
∴∠CEM=∠BAE；

（3）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM，
當(dāng)AM=EM時(shí)，
在△ABE和△ECM中，
∵

∠C=∠B ∠CEM=∠BAE AE=EM

，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=1，
當(dāng)AM=EM時(shí)，∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

AC

CB

，
∴CE=

AC2

BC

=

25

6

，
∴BE=6-

25

6

=

11

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出BE的長是解題關(guān)鍵易錯(cuò)點(diǎn)．