Question

已知拋物線y=-

1

2

x²+（m+3）x-（m-1）．
（1）求拋物線的頂點坐標（用m表示）；
（2）設拋物線與x軸的兩個交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸交點為C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設Q為拋物線上的一點，它的橫坐標為1，試問在拋物線上能否找到另一點P，使PC⊥QC？若點P存在，求點P的坐標；若點P不存在，請說出理由．（請在右方直角坐標系中作出大致圖形）

Answer 1

分析：（1）用配方法進行求解即可．
（2）若∠ABC=∠BAC，則有AC=BC，那么A、B關于y軸對稱，即拋物線的對稱軸為x=0，據(jù)此可求出m的值．
（3）已知了Q的橫坐標，可代入拋物線中求出Q點的坐標，那么可根據(jù)C、Q的坐標求出直線CQ的函數(shù)解析式，由于直線CP與CQ垂直，因此兩直線的斜率的乘積為-1，由此可求出直線CP的函數(shù)解析式，聯(lián)立直線CP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點P的坐標．（也可通過構建相似三角形來求解）

解答：解：（1）∵-

1

2

x²+（m+3）x-（m-1）
=-

1

2

[x-（m-3）]²+

1

2

（m+3）²-（m-1）
=-

1

2

[x-（m-3）]²+

1

2

（m²+4m+11）
∴拋物線的頂點的坐標為（m+3，

m2+4m+11

2

）

（2）在△ABC中，∵∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC
∴點C在線段AB的中垂線上
∴y軸為拋物線的對稱軸
∴m+3=0．m=-3

（3）在（2）的條件下，m=-3
∴拋物線為y=-

1

2

x²+4
方法①：將x=0代入y=-

1

2

x²+4得y=4．
即C（0，4）；
將x=1代入y=-

1

2

x²+4得y=

7

2

，即Q（1，

7

2

）；
∴直線CQ的解析式為y=-

1

2

x+4．
∴直線CP的解析式為y=2x+4．

y=2x+4 y=- 1 2 x2+4

，
解得

x=0 y=4

，

x=-4 y=-4

∴點P的坐標為（-4，-4）．
方法②：若點P存在，設P（a，b），過Q作QN⊥y軸于N，過P作PM⊥y軸于M
∵QC⊥PC，
∴∠PCM+∠QCN=90°，
∴∠MPC=∠QCN
∴Rt△CPM∽Rt△QCN
∴

CM

PM

=

QN

CN

①
將x=0代入y=-

1

2

x²+4得y=4．即C（0，4）；
將x=1代入y=-

1

2

x²+4得y=

7

2

，即Q（1，

7

2

）；
將CM=OC+OM=4+|b|，PM=|a|，QN=1
ON=OC-ON=4-

7

2

=

1

2

代入（1）式：

4+|b|

|a|

=

1

1 2

，|b|=2|a|-4
∵a＜0，b＜0，
∴-b=-2a-4，b=2a+4
∴P（a，2a+4）
代入y=-

1

2

x²+4并整理得a²+4a=0
∵a≠0
∴a=-4．b=2（-4）+4=-4
∴點P（-4，-4）為所求．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點等知識．