Question

如圖，直角坐標系內(nèi)的梯形AOBC（O為原點）中AC∥OB，AO⊥OB，AC=1，OA=2，OB=5．
（1）求經(jīng)過O，C，B三點的拋物線的解析式；
（2）延長AC交拋物線于點D，求線段CD的長；
（3）在（2）的條件下，動點P、Q分別從O、D同時出發(fā)，都以每秒1個單位的速度運動，其中點P沿OB由O向B運動，點Q沿DC由D由C運動（其中一個點運動到終點后，另一個點運動也隨之停止），過點Q作QM⊥CD交BC于點M，連接PM．設(shè)動點運動的時間為t秒，請你探索：當時間t為何值時，△PMB中有一個角是直角．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線經(jīng)過原點，因此可以設(shè)解析式為y=ax²+bx，再把B、C兩點的坐標代入拋物線即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）本題可以根據(jù)C、D兩點的縱坐標相等，求出D點的橫坐標，則C、D兩點之差即為所求．
（3）由題意可知，△PMB有一個角是直角有兩種情況①∠MPB=90°時，此時Q、M、P三點在一條直線上，根據(jù)四邊形AOPQ為矩形，求出t；②∠PMB=90°時，延長QM交X軸于點N，△PNM∽△MNB，△CQM∽△BNM，求出t．
解答：解：（1）由題意知，O（0，0），C（1，2），B（5，0）．
設(shè)過O、C、B三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將C、B點坐標代入y=ax²+bx，得
可得
∴．

（2）當y=2時，則，
解得，x₁=1，x₂=4．
∴CD=4-1=3；

（3）延長QM交x軸于點N，有MN⊥OB．
①當點P與點N重合時，有
MP⊥OB，則四邊形AOPQ是矩形．
∴AQ=OP即4-t=t
∴t=2．
②若MP⊥BM，則△PNM∽△MNB．
∴MN²=PN•BN．
∵CQ∥NB，
∴△CQM∽△BNM．
∴，
即=，
則MN=．
∵BN=1+t，PN=5-（1+t）-t=4-2t，
∴=（4-2t）（t+1）．
解得，t₁=-1（舍去），，
綜合①，②知，當t=2或時，△PMB中有一個角是直角．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、在坐標系中兩點間的距離，相似三角形等知識．主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．