Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D為BC上一點，P為AD上一點，且AC=CD，⊙P分別于AB、BC相切，則⊙P的半徑為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   2.4
4. D.
   4.8

Answer 1

A
分析：由勾股定理求出AB=10，連接FP、PE，過P作PM⊥AC于M，根據(jù)切線的性質得出矩形CMPF，推出PM=CF，PF=CM，設圓P的半徑是r，根據(jù)切線的性質和切線長定理、等腰三角形的性質得到DF=FP，AM=PM，BE=BF，根據(jù)勾股定理得出AP²=AE²+PE²=AM²+PM²，代入即可得到方程，求出方程的解即可．
解答：解：由勾股定理得：AB==10，
連接FP、PE，過P作PM⊥AC于M，
∵∠C=90°，PF⊥BC，
∴四邊形CMPF是矩形，
∴PM=CF，PF=CM，
設圓P的半徑是r，
∵AC=CD，∠C=90°，
∴∠ADC=45°，
∵PF⊥BC，
∴∠FPD=45°=∠ADC，
∴DF=FP=r，
同理：AM=PM，
∵圓P切AB于E，切BC于F，
∴BF=BE=BD+DF=8-6+r，
∴AE=10-（8-6+r）=8-r，
由勾股定理得：AP²=AE²+PE²=AM²+PM²，
∴（6-r）²+（6-r）²=r²+（8-r）²，
解得：r=1，
故選A．
點評：本題主要考查對切線的性質，切線長定理，矩形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，勾股定理，直角三角形的性質，角平分線的定義，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，題型較好，難度適中，綜合性強．