Question

如圖1，由直角三角形邊角關(guān)系，可將三角形面積公式變形，
即：，
在Rt△ACD中，∵，
∴CD=bsinA
∴．①
即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦之積的一半．
如圖2，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC，由公式①，得
，
即AC×BC×sin（α+β）=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ．②
請(qǐng)你利用直角三角形邊角關(guān)系，消去②中的AC、BC、CD，只用∠α、∠β、∠α+∠β的正弦或余弦函數(shù)表示（直接寫出結(jié)果）．
（1）______
（2）利用這個(gè)結(jié)果計(jì)算：sin75°=______．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ACD中，cosα=，在Rt△BCD中，cosβ=，
∴AC×BC×sin（α+β）=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ左右兩邊同時(shí)除以AC×BC得：
sin（α+β）=×sinα+×sinβ，
則sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ；

（2）sin75°=sin（45°+30°）
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=×+×=．
故答案為：（1）sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ；（2）
分析：（1）將②式左右兩邊同時(shí)除以AC×BC，變形后等式右邊第一項(xiàng)根據(jù)利用余弦函數(shù)定義表示出cosβ，第二項(xiàng)利用余弦函數(shù)定義表示出cosα，即可得到所求的式子；
（2）將所求式子中的角75°變?yōu)?5°+30°，由（1）得到的關(guān)系式變形，再利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，即可得到所求式子的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了解三角形的問題，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，以及等式的基本性質(zhì)，弄清閱讀材料中的信息是解本題的關(guān)鍵．