Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，點E在邊DC上，且DE=4cm．動點P從點A開始沿著A?B?C?E的路線以2cm/s的速度移動，動點Q從點A開始沿著AE以1cm/s的速度移動，當(dāng)點Q移動到點E時，點P停止移動．若點P、Q同時從點A同時出發(fā)，設(shè)點Q移動時間為t（s），P、Q兩點運動路線與線段PQ圍成的圖形面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：由勾股定理求得AE=5，由于點P可以在AB，BC，CE上，因此分三種情況討論：1、0＜t≤3，2、3＜t≤

9

2

，3、

9

2

＜t≤5，

解答：解：在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

32+42

=5．（1分）
①當(dāng)0＜t≤3時，如圖1．（2分）
過點Q作QM⊥AB于M，連接QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠D=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴

QM

AD

=

AQ

AE

，∴QM=

AD•AQ

AE

=

3

5

t．（3分）
S=

1

2

AP•QM=

1

2

×2t×

3

5

t=

3

5

t²．（4分）

②當(dāng)3＜t≤

9

2

時，如圖2．（5分）
在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

32+42

=5
過點Q作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，連接QB、QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠ADE=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴

QM

AD

=

AQ

AE

，

AM

DE

=

AQ

AE

，
∴QM=

AD•AQ

AE

=

3

5

t．（6分）
AM=

DE•AQ

AE

=

4

5

t，∴QN=BM=6-AM=6-

4

5

t．（7分）
∴S_△QAB=

1

2

AB•QM=

1

2

×6×

3

5

t=

9

5

t
S_△QBP=

1

2

BP•QN=

1

2

（2t-6）（6-

4

5

t）=-

4

5

t²+

42

5

t-18
∴S=S_△QAB+S_△QBP=

9

5

t+（-

4

5

t²+

42

5

t-18）=-

4

5

t²+

51

5

t-18（8分）

③當(dāng)

9

2

＜t≤5時．
方法1：過點Q作QH⊥CD于H，連接QP．如圖3．
由題意得QH∥AD，∴△EHQ∽△EDA，∴

QH

AD

=

QE

AE

∴QH=

AD•QE

AE

=

3

5

（5-t）（10分）
∴S_梯ABCE=

1

2

（EC+AB）•BC=

1

2

（2+6）×3=12
S_△EQP=

1

2

EP•QH=

1

2

（11-2t）×

3

5

（5-t）=

3

5

t²-

63

10

t+

33

2

∴S=S_梯ABCE-S_△EQP=12-

3

5

t²+

63

10

t-

33

2

=-

3

5

t²+

63

10

t-

9

2

．（11分）

點評：本題由于點P的位置有三種情況，所以要分三種情況討論，通過作輔助線，利用：1、勾股定理，2、相似三角形的判定和性質(zhì)，3、三角形和梯形的面積公式求解．