(2009•成都)已知A、D是一段圓弧上的兩點,且在直線l的同側,分別過這兩點作l的垂線,垂足為B、C,E是BC上一動點,連接AD、AE、DE,且∠AED=90度.
(1)如圖①,如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3,求AD的長;
(2)如圖②,若點E恰為這段圓弧的圓心,則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系?請寫出你的結論并予以證明.再探究:當A、D分別在直線l兩側且AB≠CD,而其余條件不變時,線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系?請直接寫出結論,不必證明.
【答案】分析:(1)根據(jù)兩角對應相等證明Rt△ABE∽Rt△ECD,然后根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等求得CD的長,再運用勾股定理就可計算出AD的長;
(2)可以證明Rt△ABE≌Rt△ECD,得到對應線段相等,根據(jù)圖形就可得到線段之間的和差關系.
解答:解:(1)∵AB⊥l于B,DC⊥l于C,
∴∠ABE=∠ECD=90°.
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°,且∠AED=90°,
∴∠CED=90°-∠BEA.
又∵∠BAE=90°-∠BEA,
∴∠BAE=∠CED.
∴Rt△ABE∽Rt△ECD.

∵BE:EC=1:3  BC=16,
∴BE=4,EC=12.
又∵AB=6,
∴CD==8.
在Rt△AED中,由勾股定理得
AD==2

(2)(i)猜想:AB+CD=BC.
證明:在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°-∠AEB,
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°,且∠AED=90°,
∴∠CED=90°-∠AEB.
∴∠BAE=∠CED.
∵DC⊥BC于點C,
∴∠ECD=90°.
由已知,有AE=ED,
于是在Rt△ABE和Rt△ECD中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△ECD(AAS).
∴AB=EC,BE=CD.
∴BC=BE+EC=CD+AB,即AB+CD=BC.

(ii)當A,D分別在直線l兩側時,線段AB,BC,CD有如下等量關系:
AB-CD=BC(AB>CD)或CD-AB=BC(AB<CD).
點評:此題考查了圓的有關知識、相似三角形的性質和判定以及全等三角形的性質和判定.
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D.4:1

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