Question

26、如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，已知，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）證明：△ABC≌△ADC的理由；
（2）證明：OB=OD；
（3）若點P在直線AC上，試問PB與PD一定相等嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）由∠1=∠2，∠3=∠4，AC為公共邊，ASA判定定理得△ABC≌△ADC．
（2）因為OB、OD分別在△AOB和△AOD中，則可證這兩個三角形全等，∠1=∠2，AO為公共邊，又由（1）得AB=AD，所以SAS判定△AOB和△AOD全等．
（3）因為BC=CD，∠3=∠4，CP為公共邊，所以由SAS可判定△BCP≌△DCP，故PB與PD一定相等．

解答：解：（1）證明：∵在△ABC和△ADC中，
∠l=∠2，
AC=AC，
∠3=∠4，
∴△ABC≌△ADC（ASA）；

（2）證明：∵在△ABC和△ADC，
∴AB=AD
∴在△ABO和△ADO中
AB=AD，
∠1=∠2，
AO=AO，
∴△ABO≌△ADO（SAS）
∴OB=OD；

（3）PB=PD，理由如下：
在AC上取一點P，連接PB，PD
∵△ABO≌△ADO，OB=OD
∴∠AOB=∠AOD=90°即AO⊥BD
∴AC是線段BD的垂直平分線，
而點P在AC上，
∴PB=PD．

點評：本題考查的是三角形全等的判定及其應用，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．