Question

已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)為3，對(duì)角線AC，BD交點(diǎn)O，直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與線段AB，AD交于點(diǎn)M，N（不與點(diǎn)B，A，D重合）． 設(shè)DN=x，四邊形AMPN的面積為y．在下面情況下，y隨x的變化而變化嗎？若不變，請(qǐng)求出面積y的值；若變化，請(qǐng)求出y與x的關(guān)系式．
（1）如圖1，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合；
（2）如圖2，點(diǎn)P在正方形的對(duì)角線AC上，且AP=2PC；
（3）如圖3，點(diǎn)P在正方形的對(duì)角線BD上，且DP=2PB．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合圖形可知點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，當(dāng)x變化時(shí)，y不變，即可得出答案；
（2）利用已知得出△APE∽△ACD，即可得出，進(jìn)而得出△PEN≌△PFM，即可求出面積；
（3）根據(jù)DP=2PB，x變化，y變化，即可得出y=-x+．
解答：解：（1）當(dāng)x變化時(shí)，y不變．
如圖1，y=S_{四邊形AMON}=S_{正方形AFOE}=×=．（3分）

（2）當(dāng)x變化時(shí)，y不變．
如圖2，作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F．（4分）
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD．
∴四邊形AFPE是矩形，PF=PE．
∴四邊形AFPE是正方形．（5分）
∵∠ADC=90°，
∴PE∥CD．
∴△APE∽△ACD．
∴．
∵AP=2PC，CD=3，
∴．
∴PE=2．
∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，
∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°．
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，
∴△PEN≌△PFM．（6分）
∴y=S_{四邊形AMON}=S_{正方形AFOE}=4．（7分）

（3）x變化，y變化．
作PE⊥AD，PF⊥AB，
∵∠MPF+∠MPE=90°，∠NPE+∠MPE=90°，
∴∠MPF=∠EPN，
又∵∠MFP=∠PEN=90°，
∴△MFP∽△NEP，
∴，
∵點(diǎn)P在正方形的對(duì)角線BD上，且DP=2PB，PF∥AD，
∴=，
∴PF=1，EP=2，
∵DN=x，EN=2-x，
∴MF=1-，
∴AM=1+，
∴y=S_{四邊形AMPN}=S_梯形AEPM+S_△PEN=×（2+1+）×1+×2×（2-x）=-x+，0＜x＜3．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形變化已知條件是近幾年中考新題型，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．