Question

已知二次函數(shù)的圖象如圖．
（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對稱軸公式求出x=-，求出即可；
（2）假設(shè)出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點坐標，再利用勾股定理求出即可；
（3）由拋物線的解析式可得，A，B，C，M各點的坐標，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可證明．
解答：解：（1）由，
得，
∴D（3，0）；

（2）方法一：
如圖1，設(shè)平移后的拋物線的解析式為，
則C（0，k）OC=k，
令y=0即，
得，x₂=3-，
∴A，B，
∴，
=2k²+8k+36，
∵AC²+BC²=AB²
即：2k²+8k+36=16k+36，
得k₁=4，k₂=0（舍去），
∴拋物線的解析式為，

方法二：
∵，∴頂點坐標，
設(shè)拋物線向上平移h個單位，則得到C（0，h），頂點坐標，
∴平移后的拋物線：，
當y=0時，，得，x₂=3+，
∴A，B，
∵∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，則OC²=OA•OB（6分），
即，
解得h₁=4，h₂=0（不合題意舍去），
∴平移后的拋物線：；

（3）方法一：
如圖2，由拋物線的解析式可得，
A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M，
過C、M作直線，連接CD，過M作MH垂直y軸于H，則MH=3，
∴，
，
在Rt△COD中，CD==AD，
∴點C在⊙D上，
∵，
∴DM²=CM²+CD²
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，
∴直線CM與⊙D相切．

方法二：
如圖3，由拋物線的解析式可得A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M，
作直線CM，過D作DE⊥CM于E，過M作MH垂直y軸于H，則MH=3，，由勾股定理得，
∵DM∥OC，
∴∠MCH=∠EMD，
∴Rt△CMH∽Rt△DME，
∴得DE=5，
由（2）知AB=10，∴⊙D的半徑為5．
∴直線CM與⊙D相切．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出是解決問題的關(guān)鍵．