Question

已知一拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（6，0），B（4，3），
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若P為拋物線在第一象限的一點(diǎn)，求△POA面積的最大值；
（3）拋物線的對稱軸與直線OB交于點(diǎn)M，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)Q為拋物線的對稱軸上的一動點(diǎn)，以Q、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，求出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法可求出此拋物線的解析式；
（2）易知拋物線的開口向下，且頂點(diǎn)在第一象限，由于OA的長為定值，若△POA的面積最大，那么P到OA的距離最長，所以此時P點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，可根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，以O(shè)A為底，P點(diǎn)（即拋物線頂點(diǎn)）縱坐標(biāo)絕對值為高即可求出△POA的最大面積；
（3）由于拋物線的對稱軸與OC平行，那么∠QMO=∠BOC，若以Q、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，
有兩種情況需要考慮：
①∠OQM=∠BCO=90°；此時Q點(diǎn)為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線對稱軸解析式即可求出其坐標(biāo)；
②∠QOM=∠BCO=90°；根據(jù)同角的余角相等，易求得∠QOA=∠BOC，而OC=OO₁=3，即可證得△Q₂Q₁O≌△BCO，得Q₁Q₂=BC，由此可求出Q2的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，拋物線過（0，0）、（6，0），（4，3）三點(diǎn)，
得

c=0 36a+6b+c=0 16a+4b+c=3

，
解得

a=- 3 8 b= 9 4 c=0

所求拋物線的解析式為y=-

3

8

x2+

9

4

x；

（2）∵△POA的底邊OA=6，
∴當(dāng)S_△POA有最大值時，點(diǎn)P須位于拋物線的最高點(diǎn)，
∵a=-

3

8

＜0，
∴拋物線的頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，
∵y=-

3

8

x2+

9

4

x=-

3

8

(x2-6x+9)+

27

8

=-

3

8

(x-3)2+

27

8

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

27

8

）．
∴S_△POA的最大值=

1

2

×6×

27

8

=

81

8

；

（3）拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)Q₁符合條件，
∵CB∥OA，
∴∠Q₁OM=∠B，
∵∠BCO=∠OQ₁M，
∴△Q₁OM∽△CBO
∴Q₁的坐標(biāo)為（3，0）
過點(diǎn)O作OB的垂線交拋物線的對稱軸于Q₂，
∴∠Q₂OM=∠BCO=90°
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠Q₂MO=∠BOC，
∴△Q₂MO∽△BOC
∵∠Q₂OM=∠COA=90°
∴∠Q₁OQ₂=∠COB
∵Q₁O=CO=3，∠Q₂Q₁O=∠BCO，
∴△Q₂Q₁O≌△BCO，
∴Q₁Q₂=CB=4，
∵點(diǎn)Q₂位于第四象限，
∴Q₂的坐標(biāo)為（3，-4）
因此符合條件的點(diǎn)有兩個，分別是Q₁（3，0）、Q₂（3，-4）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的求法、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度適中．