Question

2．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過（-1，0），（3，0）兩點，并與y軸交于點C（0，3）．
（1）求出此二次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出此二次函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的圖象的解析式；
（3）直接寫出方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+bx+c}\\{y=x+3}\end{array}\right.$的解；
（4）設拋物線的頂點為D，在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PCD 是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．將點（0，3）代入拋物線的解析式求得a的值即可；\
（2）依據(jù)關(guān)于y軸對稱的點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等可得到拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式；
（3）將y=x+3代入拋物線的解析式，求得方程組的解即可；
（4）本題須分以CD為底邊和以CD為一腰兩種情況分類討論，即可得出△PDC是等腰三角形符合條件的點P的坐標．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
將點（0，3）代入拋物線的解析式得：-3a=3，解得a=-1．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）∵關(guān)于y軸對稱點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，
∴拋物線y=-x²+2x+3關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（3）將y=x+3代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=x+3，整理得：x²-x=0，解得：x=0或x=1．
當x=0時，y=3，；當x=1時，y=4，
所以方程組的解為$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$．
（4）存在．
理由：由拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3得D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1．
①若以CD為底邊，則PD=PC，設P點坐標為（x，y）根據(jù)勾股定理得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）² 即y=4-x 又P點（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，即 x²-3x+1=0 解得 x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ （舍去）
∴x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
∴y=4-x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
即點P坐標為 （$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）．
②若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，
由拋物線對稱性知，點P與點C關(guān)于直線x=1對稱，此時點P坐標為（2，3）
∴符合條件的點P坐標為（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（2，3）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)于y軸對稱點的坐標特點，等腰三角形的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵．