Question

如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，求EC的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,三角形中位線定理,圓周角定理

專題：計算題

分析：由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=

1

2

AB=4，設(shè)AO=x，則OC=OD-CD=x-2，在Rt△ACO中根據(jù)勾股定理得到x²=4²+（x-2）²，解得x=5，則AE=10，OC=3，再由AE是直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位線得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可計算出CE．

解答：解：連結(jié)BE，如圖，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
設(shè)AO=x，則OC=OD-CD=x-2，
在Rt△ACO中，∵AO²=AC²+OC²，
∴x²=4²+（x-2）²，解得 x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直徑，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位線，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=

CB2+BE2

=

42+62

=2

13

．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理、圓周角定理．