Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)連接點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)交于點(diǎn)過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）求三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試探究在點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）m是點(diǎn)的橫坐標(biāo)，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出為何值時有最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為和；（3）時，有最大值．

【解析】

（1）解方程得，計算自變量為0時的二次函數(shù)值得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用勾股定理計算出，利用待定系數(shù)法可求得直線關(guān)系式為則可設(shè)為，，討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有然后分別解方程求出即可得到對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由知是等腰直角三角形，可判斷為等腰直角三角形，則再證明得到，所以，于是得到，設(shè)，，則利用得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．

解：當(dāng)時，有

解得，

所以

當(dāng)時，有

所以．

存在．

由（1）易知，，

直線關(guān)系式為

設(shè)為，，

則①當(dāng)時，

有

解得(不合，舍去)，

此時點(diǎn)為

②當(dāng)時，有

解得(不合，舍去)，

此時點(diǎn)為

③當(dāng)時，有

解得(不合，舍去)，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為和．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

則軸，

由知是等腰直角三角形，

，

為等腰直角三角形

，

又，

即

，

設(shè)，，

則

，

，

有最大值，

時，有最大值．