Question

（本題滿分12分） 已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點，

（1）如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BE=AF，求證：△DEF為等腰直角三角形．

（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE=AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形?證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）是，理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）連接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，得出∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可得出：△BED≌△AFD，從而有DE=DF，∠BDE=∠ADF，故∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；

（2）由∠DAF=∠DBE，再結(jié)合兩組對邊對應相等，所以△DAF≌△DBE，從而得到結(jié)論．

試題解析：（1）連接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，∴AD⊥BC，BD=AD，∴∠B=∠DAC=45°，又BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°，∴△DEF為等腰直角三角形；

（2）△DEF為等腰直角三角形．如圖所示：連接AD，∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，∵∠BAC=90°，D為BC的中點，∴AD=BD，AD⊥BC（三線合一），∴∠DAC=∠ABD=45°，∴∠DAF=∠DBE=135°，又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°，∴△DEF仍為等腰直角三角形．

考點：1．等腰直角三角形；2．全等三角形的判定與性質(zhì)．

考點分析： 考點1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
組成三角形的線段叫做三角形的邊．
相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．
相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．
（2）按邊的相等關系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．
（4）三角形具有穩(wěn)定性． 試題屬性

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