Question

如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)B的直線解析式為y=x，OA、AB是方程x²-14x+48=0的兩個(gè)根，OB=BC，D、E分別是線段OC、OB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)O、點(diǎn)C不重合），且∠BDE=∠ABO，設(shè)CD=x，BE=y．
（1）求BC和OC的長(zhǎng)；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在x的值，使以點(diǎn)B、點(diǎn)D、點(diǎn)E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OC于點(diǎn)M．先解方程x²-14x+48=0，得x₁=6，x₂=8，再根據(jù)直線OB的解析式為y=x，求出BM=8，OM=6，則由勾股定理得到BC=OB=10，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到OC=2OM=12；
（2）先由平行線的性質(zhì)及已知條件證出∠BOC=∠BCO，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得到∠ODE=∠CBD，則△ODE∽△CBD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由于∠BED＞∠BOC=∠BDE，所以BD＞BE，當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，分兩種情況討論：①DE=DB，②EB=ED．這兩種情況，都可以根據(jù)△ODE∽△CBD，對(duì)應(yīng)線段成比例列出方程，求解即可．
解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0，
得x₁=6，x₂=8．
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OC于點(diǎn)M，
又∵過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)B的直線解析式為，
∴BM：OM=4：3，
∴BM=8，OM=6，
∴BC=OB=，OC=2OM=12；

（2）∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，
∵BO=BC，∴∠BOC=∠BCO，
∵∠BDE=∠ABO，∴∠BDE=∠BCO，
∵∠ODB=∠ODE+∠BDE=∠CBD+∠BCO，∴∠ODE=∠CBD，
∴△ODE∽△CBD，∴OD：CB=OE：CD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x，
解得y=x²-x+10（0＜x＜12）；

（3）存在x₁=2，x₂=，使以點(diǎn)B、點(diǎn)D、點(diǎn)E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．理由如下：
∵∠BED＞∠BOC=∠BDE，∴BD＞BE，
當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)DE=DB時(shí)，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=DE：BD=1，
∴（12-x）：10=1，
解得x=1；
②當(dāng)EB=ED時(shí)，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=OE：CD=DE：BD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x=y：（12-x），
解得x=．
故存在x₁=2，x₂=，使以點(diǎn)B、點(diǎn)D、點(diǎn)E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．其中第（2）問(wèn)證出△ODE∽△CBD是關(guān)鍵，第（3）問(wèn)運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵．