Question

（1）如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：FA=AB．
（2）如圖2，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

2

cm，①求∠BAC的度數(shù)； ②求⊙O的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由ABCD為平行四邊形，得到對(duì)邊平行且相等，由FB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，又E為AD的中點(diǎn)，得到AE=DE，利用AAS可得三角形AEF與三角形ECD全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=DC，又AB=DC，等量代換可得FA=AB；
（2）由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BDC=∠BAC，由∠BDC的度數(shù)求出∠BAC的度數(shù)，可得∠ACB與∠BAC的度數(shù)相等，都為60°，可得三角形ABC為等邊三角形，由O為三角形的外心，可得O為三邊垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三線合一得到的O為三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC與M，連接OC，在直角三角形OMC中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得OC=2OM，又OA=OC，可得AO=2OM，表示出OM，在直角三角形ACM中，利用勾股定理求出AM的長(zhǎng)，由AM=AO+OM，把表示出OM代入，得到關(guān)于OA的方程，求出方程的解得到OA的長(zhǎng)，即為圓的半徑，即可求出圓的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵ABCD為平行四邊形，
∴FB∥DC，AB=CD，
∴∠F=∠DCE，∠FAE=∠D，
又E為AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，

∠F=∠DCE ∠FEA=∠D AE=DE

，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴FA=CD，
∴FA=AB；

（2）∵圓周角∠BAC與∠BDC所對(duì)的弧都為

BC

，
∴∠BAC=∠BDC，又∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°；
連接AO，并延長(zhǎng)與BC交于M，連接OC，
則AM⊥BC，
∵∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，又AC=2

2

cm，
∴M為BC的中點(diǎn)，即CM=BM=

1

2

BC=

2

cm，CO為∠ACB的平分線，即∠MCO=∠AOC=30°，
在Rt△AMC中，根據(jù)勾股定理得：AM=

AC2-CM2

=

6

cm，
在Rt△MOC中，OM=

1

2

OC，又OA=OC，
∴OM=

1

2

OA，
∴AM=OA+OM=OA+

1

2

OA=

3

2

OA=

6

cm，
可得：OA=

2 6

3

cm，
則圓O的周長(zhǎng)為2πr=

4π 6

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，根據(jù)題意判定出△ABC為等邊三角形是解第二問(wèn)的關(guān)鍵．