Question

以O(shè)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)有一定點(diǎn)A，過(guò)A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS的最大值和最小值．

Answer 1

分析：設(shè)OA=a（定值），過(guò)O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C為垂足，設(shè)OB=x，OC=y，0≤x≤a，（0≤y≤a），由勾股定理得出x，y，a的關(guān)系，再由垂徑定理PQ和RS，最后由完全平方公式求得最大值和最小值．

解答：解：如圖，設(shè)OA=a（定值），
過(guò)O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C為垂足，
設(shè)OB=x，OC=y，0≤x≤a，（0≤y≤a），
且x²+y²=a²．
所以PQ=2PB=2

1-x2

，
RS=2（

1-x2

+

1-y2

）．
所以PQ+RS=2（

1-x2

-

1-y2

）．
∴（PQ+RS）²=4（2-a²+2

1-a2+x2y2

）
而x²y²=x²（a²-x²）=-（x²-

a2

2

）²+

a4

4

．
當(dāng)x²=

a2

2

時(shí)，
（x²y²）最大值=

a4

4

．
此時(shí)PQ+RS=

4(2-a2+2-a2)

；
當(dāng)x²=0或x²=a²時(shí)，（x²y²）_最小值=0，
此時(shí)（PQ+RS）_最小值=2（1+

1-a2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了垂徑定理和勾股定理，以及完全平方公式的應(yīng)用．解答這類題一些學(xué)生不會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題，不知從何處入手造成錯(cuò)解．