Question

（2007•威海）如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC．翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF．已知CE⊥AB．
（1）求證：EF∥BD；
（2）若AB=7，CD=3，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)C點(diǎn)作CH∥BD，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H；連接AC，交EF于點(diǎn)K，則AK=CK．
通過(guò)證明四邊形CDBH是平行四邊形，△ACH是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高是底邊上的中線(xiàn)得到EK是△AHC的中位線(xiàn)．EK∥CH．可得EF∥BD．
（2）由AB=7，CD=3，得AH=10．由折疊的性質(zhì)知AE=CE，∴AE=CE=EH=5．在等腰直角三角形CHE中，由勾股定理得，CH=5=BD．由于△AFE∽△ADB．即．從而求得EF的值．
解答：（1）證明：過(guò)C點(diǎn)作CH∥BD，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H；
連接AC，交EF于點(diǎn)K，則AK=CK．
∵AB∥CD，∴BH=CD，BD=CH．
∵AD=BC，∴AC=BD=CH．
∵CE⊥AB，
∴AE=EH．
∴EK是△AHC的中位線(xiàn)．
∴EK∥CH．
∴EF∥BD．

（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD．
∴∠AEF=∠ABD．
∵AB=7，CD=3，
∴AH=10．
∵AE=CE，AE=EH，
∴AE=CE=EH=5．
∵CE⊥AB，∴CH=5=BD．
∵∠EAF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，
∴△AFE∽△ADB．
∴．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．