Question

如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和(0，3）.動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AO-OB-BA運(yùn)動，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動的速度分別為1，，2 (長度單位/秒)﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以 (長度單位/秒)的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)﹒設(shè)動點(diǎn)P與動直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動一周時(shí)，直線l和動點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動．

請解答下列問題：

1.過A，B兩點(diǎn)的直線解析式是      ▲       

2.當(dāng)t﹦4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為    ▲    ；當(dāng)t ﹦    ▲     ，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；

3.① 作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P′. 在運(yùn)動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

② 當(dāng)t﹦2時(shí)，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.；………4分

2.（0,），；……4分（各2分）

3.①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過作⊥軸，為垂足（如圖1）

          ∵,,∠∠90°

         ∴△≌△，∴﹒

又∵,∠60°,∴

         而，∴,

         由得  ；…………………1分

         當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；

         當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，

過P作⊥，⊥，、分別為垂足（如圖2）

         ∵,∴,∴

         ∴， 又∵

         在Rt△中，

         即，解得．…………………………………………………1分

②存在﹒理由如下：

         ∵，∴,，

將△繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到

△（如圖3）

         ∵⊥，∴點(diǎn)在直線上，

         C點(diǎn)坐標(biāo)為（，－1）

         過作∥，交于點(diǎn)Q,

則△∽△

         由，可得Q的坐標(biāo)為（－，）………………………1分

根據(jù)對稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)（－，）也符合條件．……1分

解析:（1）考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)；

（2）此題要掌握點(diǎn)P的運(yùn)動路線，要掌握點(diǎn)P在不同階段的運(yùn)動速度，即可求得；

（3）①此題需要分三種情況分析：點(diǎn)P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點(diǎn)，可求的一個(gè)；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，根據(jù)對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．

②當(dāng)t﹦2時(shí)，可求的點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意答案的不唯一性．