(2009•張家界)在平面直角坐標系中,已知A(-4,0),B(1,0),且以AB為直徑的圓交y軸的正半軸于點C(0,2),過點C作圓的切線交x軸于點D.
(1)求過A,B,C三點的拋物線的解析式;
(2)求點D的坐標;
(3)設平行于x軸的直線交拋物線于E,F(xiàn)兩點,問:是否存在以線段EF為直徑的圓,恰好與x軸相切?若存在,求出該圓的半徑;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)已知了拋物線過A,B,C三點,可根據(jù)三點的坐標用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)由于CD是圓的切線,設圓心為O′,可連接O′C,在直角三角形O′CD中科根據(jù)射影定理求出OD的長,即可得出D的坐標.
(3)可假設存在這樣的點E、F,設以線段EF為直徑的圓的半徑為|r|,那么可用半徑|r|表示出E,F(xiàn)兩點的坐標,然后根據(jù)E,F(xiàn)在拋物線上,將E,F(xiàn)的坐標代入拋物線的解析式中,可得出關于|r|的方程,如果方程無解則說明不存在這樣的E,F(xiàn)點,如果方程有解,可用得出的r的值求出E,F(xiàn)兩點的坐標.
解答:解:(1)令二次函數(shù)y=ax2+bx+c,

,
∴過A,B,C三點的拋物線的解析式為y=-x2-x+2.

(2)以AB為直徑的圓的圓心坐標為O′(-,0),
∴O′C=,
OO′=;
∵CD為⊙O′切線
∴O′C⊥CD,
∴∠O′CO+∠OCD=90°,∠CO'O+∠O'CO=90°,
∴∠CO'O=∠DCO,
∴△O'CO∽△CDO,
=,即=,
∴OD=,
∴D坐標為(,0).

(3)存在,
拋物線對稱軸為x=-
設滿足條件的圓的半徑為r,則E的坐標為(-+r,|r|)或F(--r,r),
而E點在拋物線y=-x2-x+2上,
∴r=-(-+r)2-(-+r)+2;
∴r1=-1+,r2=-1-(舍去);
故以EF為直徑的圓,恰好與x軸相切,該圓的半徑為
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、切線的性質等重要知識點,綜合性強,考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.
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