Question

如圖（1），直線y=k₁x+b與反比例函數(shù)y=

k2

x

的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)．
（1）求k₁、k₂的值；
（2）如圖（1），等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)F，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請判斷FC和EF的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖（2），已知點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)．在第（2）問的條件下，點(diǎn)P在x軸上，從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)及

四邊形PCQE的面積

三角形DEQ的面積

的值．

Answer 1

分析：（1）先將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出k₂的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=k₁x+b，解方程組即可求出k₁的值；
（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，n），則C（m，3），CE=3，BC=m-2，OD=m+2，利用梯形OBCD的面積是12列出方程，求得m的值，從而求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可得出FC=FE；
（3）先證明△CEP∽△DEC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出P點(diǎn)坐標(biāo)；再由點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后由三角形的面積公式分別計(jì)算出三角形DEQ的面積和三角形PCD的面積，則四邊形PCQE的面積=三角形PCD的面積-三角形DEQ的面積，進(jìn)而求出

四邊形PCQE的面積

三角形DEQ的面積

的值．

解答：解：（1）∵A（1，6），B（a，3）在反比例函數(shù)y=

k2

x

的圖象上，
∴k₂=1×6=3a，
∴k₂=6，a=2，
∴B（2，3）．
將A（1，6），B（2，3）代入直線y=k₁x+b，
得

k1+b=6 2k1+b=3

，
解得

k1=-3 b=9

，
則直線的解析式為y=-3x+9．
故所求k₁=-3，k₂=6；

（2）當(dāng)S_梯形OBCD=12時(shí)，F(xiàn)C=FE．理由如下：
如圖（1），設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，n）．
∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），
∴C（m，3），CE=3，BC=m-2，OD=m+2，
∴S_梯形OBCD=

BC+OD

2

×CE，即12=

m-2+m+2

2

×3，
∴m=4，
又∵mn=6，
∴n=

3

2

，即FE=

1

2

CE，
∴FC=FE；

（3）如圖（2），當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，∠PCE+∠DCE=90°，
∵CE⊥OD于點(diǎn)E，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠PCE=∠CDE，
又∵∠CEP=∠DEC=90°，
∴△CEP∽△DEC，
∴CE：DE=EP：EC，
∴DE•EP=CE²，
∴2EP=9，
∴EP=

9

2

，
∵E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，0）．
∵點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，C（4，3），D（6，0），
∴Q（5，

3

2

），
又∵DE=2，
∴三角形DEQ的面積=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；
又∵三角形PCD的面積=

1

2

×PD×CE=

1

2

×

13

2

×3=

39

4

，
∴四邊形PCQE的面積=三角形PCD的面積-三角形DEQ的面積=

39

4

-

3

2

=

33

4

，
∴

四邊形PCQE的面積

三角形DEQ的面積

=

33 4

3 2

=

11

2

．
故所求P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，0），

四邊形PCQE的面積

三角形DEQ的面積

=

11

2

．

點(diǎn)評：此題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度中等，綜合性較強(qiáng)，注意反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長度，從而確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．